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2.1 - Sommari
Limiti - Sommario

A. Definizione di Limite di funzione

Tutto sui limiti.

Definizione di Limite di funzione

Idea fondamentale del limite di una funzione; definizione di limite in tutti i casi; dimostrazione dell'esistenza di un limite. Definizione di limite destro e sinistro.

0. Argomenti propedeutici e/o voci correlate

Per affrontare uno degli argomenti più importanti dell'analisi matematica, ovvero i limiti, è necessario conoscere e ricordare alcuni argomenti:

1. Idea fondamentale

Osservazione 1 (idea fondamentale del limite).

Prendiamo la una funzione di variabile reale (DEF 1.1.) del tipo e consideriamo un punto che è un punto di accumulazione per (Punti di aderenza e di accumulazione, DEF 2.1.).
Ora voglio capire come posso rigorosamente formulare la seguente frase:
"Se si avvicina a , allora si avvicina a un valore ."
Ovvero col seguente grafico abbiamo la figura 1.1.
Oppure un caso più particolare, con dove è un punto di accumulazione per (il dominio), ma non ne fa parte.

FIGURA 1.1. (Idea di base)
Pasted image 20231103221257.png

FIGURA 1.2. (Esempio particolare )
Pasted image 20231103221310.png

2. Formulazione rigorosa del concetto del limite di funzione

Ora diamo una formalizzazione rigorosa del concetto appena formulato sopra.

Definizione 2 (formulazione generale e rigorosa del limite di una funzione che tende ad un punto di accumulazione).

Sia una funzione di variabile reale di forma Siano , un punto di accumulazione per .
Allora denotiamo il limite di funzione per un punto di accumulazione come
e la definiamo se è vera la seguente:

Osservazione 3 (la formulazione generale del limite comprende tutti i casi).

Questa definizione del limite può essere può essere interpretata in più casi.

Definizione 4 (formulazione di Cauchy del limite di una funzione).

Siano . Quindi dei valori fissi sulla retta reale.
Ora "interpretiamo" la definizione del limite di , in questo caso: significa
e questo graficamente corrisponde alla figura 2.2.
In sintesi;

FIGURA 2.2. (Formulazione epsilon-delta del limite)
Pasted image 20231103221329.png

Osservazione 5 (analogia "ludica" del limite).

Grazie a questa interpretazione è possibile creare un'analogia per il limite; infatti se immaginiamo l'intorno di con raggio come un "bersaglio" e vale la condizione del limite, allora deve essere sempre possibile trovare un intorno attorno con raggio tale per cui facendo l'immagine di tutti i punti in questo intorno, "colpisco" il "bersaglio" (ovvero l'intorno di ).

Osservazione 6 (analogia "meccanica" del limite).

Alternativamente è possibile pensare all'esistenza del limite come una "macchina" che dato un valore ti trova un valore ; dato un qualsiasi, questa macchina ti darà sempre un .

Definizione 7 (limite infinito di una funzione).

Ora interpretiamo ovvero dove . Allora interpretando il significato del limite abbiamo: ovvero abbiamo graficamente che per una qualsiasi retta orizzontale , troveremo sempre un intervallo tale per cui l'immagine dei suoi punti superano sempre questa retta orizzontale.
Analogamente vale lo stesso per

FIGURA 2.3. (Idea del limite infinito di una funzione)
Pasted image 20231103221345.png

Definizione 8 (limite di una funzione all'infinito).

Ora abbiamo
ovvero dove . Interpretando la definizione si ha: graficamente ho un grafico di una funzione , dove disegnando un qualsiasi intorno di riuscirò sempre a trovare un valore tale per cui tutti i punti dell'insieme immagine dell'intervallo stanno sempre all'interno dell'intorno di , indipendentemente da quanto stretto è questo intervallo (figura 2.4.)

FIGURA 2.4. (Idea grafica del limite all'infinito)
Pasted image 20231103221400.png

Definizione 9 (limite infinito di una funzione all'infinito).

Finalmente consideriamo il caso
Per definizione ho
questo vuol dire che fissando un qualunque valore , riuscirò sempre a trovare un valore tale per cui prendendo un qualsiasi punto , il valore immagine di questo punto supererà sempre (figura 2.5.).

FIGURA 2.5. (Idea grafica del limite infinito all'infinito)
Pasted image 20231103221438.png

2.1. Infinitesimo

APPROFONDIMENTO PERSONALE a. Usando la formulazione rigorosa del limite (Definizione 2 (formulazione generale e rigorosa del limite di una funzione che tende ad un punto di accumulazione)) e ponendo , otteniamo un risultato che è consistente con la definizione di infinitesimo secondo dei noti matematici russi, tra cui uno è Kolmogorov.

Definizione 10 (l'infinitesimo).

DEF 2.a. Si definisce un infinitesimo come una grandezza variabile , denotata come che possiede la seguente proprietà:

Osservazione 11 (infinitesimo e integrale).

OSS 2.a. Notiamo che la definizione dell'infinitesimo diventerà importante per il calcolo degli integrali, in particolare per la somma di Riemann (Definizione 2 (integrale di Riemann di una funzione su un intervallo)).

"[...] La quantità che dipende da , benché apparentemente complicata gode di una notevole proprietà: se cresce indefinitamente, tende a zero. Tale proprietà si può anche esprimere dicendo che dato un numero positivo , piccolo a piacere, è possibile scegliere un interno talmente grande che per ogni maggiore di il numero è minore, in valore assoluto, del lato numero ."

Estratto tratto da Le matematiche: analisi, algebra e geometria analitica di A.D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov e M. A. Lavrent'ev (1974, ed. Bollati Boringhieri, trad. G. Venturini).

3. Limite destro e sinistro

PREMESSA. Sia una funzione di variabile reale del tipo un punto di accumulazione per , .

Definizione 12 (limite destro di una funzione).

Si denota Il limite della funzione che tende a da destra come
In termini rigorosi lo si definisce come
Ovvero come il limite di , considerando però solo i punti che stanno a destra di .

Definizione 13 (limite sinistro di una funzione).

Analogamente il limite della funzione che tende a da sinistra è
ovvero

FIGURA 3.1. (Limite destro e sinistro di una funzione)
Pasted image 20231103221500.png

Osservazione 14 (condizione necessaria e sufficiente dell'esistenza di limite).

Si può immediatamente verificare che Infatti l'insieme dei del limite destro e/o sinistro su cui verifichiamo che è un sottoinsieme dell'insieme di cui si verifica col limite generale. Pertanto facendo l'unione tra questi due sottoinsiemi abbiamo

Definizione 15 (restrizione del limite).

Nota: definizione ricavata direttamente dalla dispensa di D. D. S.
Avevamo appena osservato che coi limiti destri e/o sinistri abbiamo semplicemente fatto una restrizione all'insieme di cui si cerca di verificare che .
Dunque definiamo il limite della funzione ristretta a , un qualunque sottoinsieme di per cui è di accumulazione: ovvero

4. Strategia per verificare l'esistenza di limiti

La nostra definizione presuppone che dobbiamo eseguire una serie infinita di verifiche per dimostrare che un limite esiste; infatti si dovrebbe scegliere tutti gli e trovare un associato.
Vogliamo invece sviluppare una serie di strategie per verificare l'esistenza dei limiti, come i teoremi e le proprietà sui limiti come vedremo in Teoremi sui Limiti di Funzione, oppure interpretando la definizione del limite per poter trovare una "formula" che associa ad ogni epsilon un delta.

Esempio 16 (dimostrazione "analitica" di un limite).

Voglio verificare che ovvero, interpretando la definizione otteniamo il seguente da verificare: Allora "faccio finta" di conoscere un fissato, sviluppiamo dunque la disuguaglianza a destra: Osservo che se poniamo e quindi , allora abbiamo . Allora da ciò discende sicuramente la disuguaglianza
abbiamo quindi
Infatti abbiamo implicitamente scelto , verificando così il limite per .
Invece se , basta scegliere .
"Completando" la dimostrazione ho:

B. Teoremi sui limiti di funzione

Teoremi sui Limiti di Funzione
Teoremi sui Limiti di Funzione

Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno, teorema del confronto, teorema dei due carabinieri, operazioni con i limiti, limiti infinitesimi e limiti infiniti, forme indeterminate.

0. Preambolo

In questo capitolo si vuole creare una serie di strategie per poter verificare l'esistenza dei limiti senza dover ricorrere a fare dei calcoli infiniti in quanto richiesta dalla Definizione di Limite di funzione.
Una di queste strategie consiste proprio enunciare e dimostrare una serie di teoremi.

1. Unicità del limite

Teorema 1 (dell'unicità del limite).

Sia poi un punto di accumulazione per .
Tesi. Poi siano i valori limiti tali che allora "Se esiste il limite di una funzione allora essa è unica"

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 1 (dell'unicità del limite))
Si procede tramite una dimostrazione per assurdo.
Supponiamo dunque Allora ci chiediamo se è possibile trovare degli intorni (Intorni) di che chiameremo che sono disgiunti; ovvero se sono tali che Dato che e sono diversi, da qui discende che la distanza tra e dev'essere maggiore di ; quindi possiamo impostare il raggio di questi intorni come Allora concludiamo che possono esistere e tali da essere disgiunti tra di loro.
Ora li scegliamo: applicando le definizioni di limite, ovvero Dato che sono intorni di che è di accumulazione per (Punti di aderenza e di accumulazione) si ha che Posso scegliere allora un che sta all'interno nell'intersezione di e ; ovvero e per ipotesi (ovvero che esistono tali limiti) deve valere che esiste un elemento tale che il che è assurdo, in quanto dovrebbe essere un insieme vuoto.

Osservazione 2 (l'utilità dell'unicità del limite alla rovescia).

Questo teorema è anche utile per dimostrare la non-esistenza di un limite: prendendo la contronominale di questo teorema. Ovvero se due restrizioni della stessa funzione (Definizione di Limite di funzione, DEF 3.1.) hanno limiti diversi , allora il limite non esiste.

2. Permanenza del segno

Teorema 3 (della permanenza del segno).

Sia Siano , punto di accumulazione per .
Sia definito il limite Tesi. Allora supponendo che oppure , allora è vera che Ovvero a parole stiamo dicendo che se il limite è positivo, allora anche la funzione è positiva per un intorno opportuno di ; il segno si "trasferisce" dal limite alla funzione.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 3 (della permanenza del segno))
Parto dalle definizione del limite, ovvero Per interpretarla nel nostro contesto (ovvero che è positiva), abbiamo che l'intorno di può essere , in quanto se è positiva allora sarà sicuramente contenuta in quell'intervallo.
Dunque viene verificato che esiste un intorno tale che #Osservazione

Osservazione 4 (utilità della permanenza del segno "alla rovescia").

Posso usare questo teorema "alla rovescia", prendendo la contronominale dell'enunciato; ovvero se è sempre negativo o uguale a zero ed il limite esiste, allora sicuramente è sempre negativo o uguale a zero.

3. Teorema del confronto

Teorema 5 (del confronto).

Siano funzioni di variabile reale del tipo e un punto di accumulazione per , e .
Tesi. Supponendo che siano vere le seguenti condizioni:
i. Che esista il limite ii. Che la funzione dev'essere sempre (nel dominio) maggiore o uguale di . Allora vale che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema del confronto (Teorema 5 (del confronto))
Sia ad esempio , allora abbiamo la seguente definizione di limite: e considerando che , abbiamo a maggior ragione che e considerando la transitività della relazione d'ordine (Relazioni, DEF 4.), abbiamo che è esattamente la definizione di

4. Teorema dei due carabinieri

Teorema 6 (dei due carabinieri).

Siano funzioni del tipo e un punto di accumulazione per , .
Tesi. Supponendo che e che poi volendo possiamo chiamare le "funzioni carabinieri"; abbiamo che

FIGURA 4.1. (L'idea del teorema)
Pasted image 20231026220649.png

FIGURA 4.2. (Immagine divertente-illustrativa del teorema)
Pasted image 20231223102214.png

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema dei due carabinieri (Teorema 6 (dei due carabinieri)])
Consideriamo solamente il caso per .
Per la definizione del limite, abbiamo e analogamente Se vogliamo che entrambe le espressioni valgano contemporaneamente, dobbiamo scegliere il minimo tra i due delta.
Per capire l'idea di questo ragionamento prendiamo dei numeri: se voglio essere sicuro che valgano entrambe, devo prendere in quanto così abbiamo la garanzia che anche sia vera.
Dunque sia e mettendole assieme, abbiamo possiamo sfruttare la transitorietà di per ottenere Riassumendo, abbiamo il seguente: che è esattamente la definizione di come volevasi dimostrare.

5. Operazioni con i limiti

Ora presentiamo una serie di proposizioni, raccolte in un unico teorema, e queste ci permettono di fare delle operazioni tra limiti.

Teorema 7 (operazioni tra limiti).

Siano funzioni di variabile reale del tipo e un punto di accumulazione per .
Tesi. Supponendo che allora abbiamo le seguenti: inoltre se , allora

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE dei primi due punti del teorema 5.1. (Teorema 7 (operazioni tra limiti))

  1. Prendiamo la definizione dei limiti ovvero e analogamente osserviamo che, in quanto abbiamo definito come un valore arbitrariamente piccolo, allora possiamo porre .
    Infatti risulterà comunque vera, in quanto dividendo un qualsiasi numero infinitamente piccolo otteniamo un numero ancora più piccolo, ma mai zero. Dunque abbiamo i seguenti: ora scegliendo abbiamo che valgono le seguenti proposizioni e possiamo dunque sommarle (analogo il discorso nella DIMOSTRAZIONE 4.2.): abbiamo allora che è esattamente la definizione del limite

  2. Qui il ragionamento per dimostrare la tesi diventa più sottile; la dimostrazione richiederà l'uso della disuguaglianza triangolare del valore assoluto (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto, OSS 3.1.1.).
    Secondo la definizione del limite, se ho per allora devo ragionare sulla seguente espressione: e utilizzando un trucchetto in cui all'interno di questa aggiungo un'espressione equivalente a (ovvero ), questo diventa ora applicando la disuguaglianza triangolare ho: Ora ragioniamo su ogni termine del membro destro dell'uguaglianza.
    è una quantità destinata a diventare infinitamente piccolo, in quanto esso rappresenta la distanza tra la funzione ed il limite; analogo il discorso per .
    è una costante che viene moltiplicata per un numero che diventa più piccolo, allora anche questa diventa piccola.
    Ora l'unico apparente "intralcio" è in quanto non è una costante, però quando è vicino a si comporta come una costante in quanto è limitata (dato che ha il limite ).
    Allora tutto il quantitativo al membro destro diventa piccolo a piacimento.

6. Limiti infiniti e infinitesimi

Notiamo che in TEOREMA 5.1. per il quoziente tra limiti abbiamo imposto che ; infatti se la funzione che sta al denominatore si avvicina a , il limite si comporterà in un altra maniera. Enunciare quindi i seguenti teoremi per illustrare questi comportamenti.

Teorema 8 (limiti finiti e infinitesimi).

Sia , , punto di accumulazione per .
Tesi. Allora valgono le seguenti:
Limite infinitesimo Limite infinito

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.1. (Teorema 8 (limiti finiti e infinitesimi))
Dimostriamo solo il limite infinitesimo, in quanto la dimostrazione del limite infinito è analoga.
Partiamo dalla definizione del limite di ; ovvero ovvero la definizione del limite di

7. Forme indeterminate

Ora definiamo delle forme indeterminate di alcuni limiti.

Teorema 9 (forme indeterminate).

Tesi 1. Sia (la seconda vuol dire che è inferiormente limitata; ovvero ), allora abbiamo che Analogo il discorso per Escludiamo infatti il caso in quanto essa è una forma indeterminata.
Tesi 2. Sia la seconda espressione vuole dire che è un'espressione sempre positiva di , allora si ha e qui escludiamo il caso .
Tesi 3 (dalla dispensa). Sia ovvero la seconda vuol dire che è limitata, allora abbiamo che escludendo i casi .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della tesi 1 del teorema 7.1. (Teorema 9 (forme indeterminate))
Partiamo dalla definizione del limite di : ovvero ma allo stesso tempo abbiamo che è inferiormente limitata, ovvero allora se scegliamo e sommiamo entrambe le espressioni, abbiamo che è la definizione di

8. Limite della funzione composta

Osservazione 10 (l'idea del concetto).

Ho una funzione con , e di accumulazione per .
Suppongo che esiste il limite di per : Ora sia con , punto di accumulazione per e . Suppongo che esiste il limite di per . Ovvero Supponendo che l'immagine funzione del dominio sia sottoinsieme del dominio dell'altra funzione, ovvero , e un punto di accumulazione per , ho la situazione nella figura 8.1..
Allora posso fare la funzione composita (Funzioni, DEF 4.) che mi porta ad un certo punto in .
Quindi voglio capire se posso affermare il seguente:

FIGURA 8.1. (Idea del concetto)
Pasted image 20231103222509.png

Teorema 11 (del limite della funzione composta).

Siano con punti di accumulazione per (rispettivamente) . Poi supponendo che esistono i limiti
e se vale una delle due ipotesi supplementari; allora vale che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (FACOLTATIVA) del teorema 8.1. (Teorema 11 (del limite della funzione composta))
Riscriviamo i limiti secondo la definizione rigorosa del limite (Definizione di Limite di funzione, DEF 2.1.). Allora abbiamo: e Concatenando le due espressioni, otteniamoperò per farlo dobbiamo assicurarci di una condizione: ovvero che così abbiamo un modo sicuro per garantirci che Un modo per garantire la suddetta condizione è porre .
Allora posso scrivere Se invece ci capita che , allora possiamo comunque avvalerci dell'altra ipotesi supplementare ponendo e abbiamo dunque , che ovviamente appartiene a .

Osservazione 12 (le condizioni supplementari sono solitamente vere).

Per fortuna nostra le condizioni supplementari appena descritte di norma valgono quasi sempre.

Osservazione 13 (cambio della variabile del limite).

Possiamo sfruttare questo teorema per poter svolgere ciò che chiameremo il meccanismo del "cambio della variabile del limite"; questo è un meccanismo non importante, ma importantissimo. Vediamo un esempio in cui entra in gioco questo meccanismo.

Cambio della variabile del limite

Esempio 14 (di un cambio della variabile del limite).

Voglio calcolare il limite Idea. L'idea fondamentale consiste nel pensare alla funzione del limite come la funzione composta. Ponendo infatti Di conseguenza dobbiamo trovare il valore per cui tende . Dunque in quanto se tende a da destra, allora anche la sua radice tende a da destra.
Ora verifichiamo se vale l'ipotesi aggiuntiva, ovvero se è vera che il che è vera, in quanto non c'è nessun numero di cui la radice è , se non stesso.
Dunque possiamo scrivere il limite iniziale come la composizione tra due funzioni, di cui una è la originaria. Allora Ora questo limite è semplicissimo da risolvere, in quanto questo ci riconduce al limite fondamentale (Esempi di Limiti di Funzione, ESEMPIO 6.1.). Quindi .

9. Limite della funzione monotona

Osservazione 15 (carattere "speciale" di questo teorema).

Osserviamo che fino ad adesso tutti i nostri teoremi sui limiti di funzione enunciati in questa pagina avevano l'esistenza di qualche limite per ipotesi.
Il teorema che enunceremo sarà speciale da questo punto di vista: infatti non avrà l'esistenza di un qualche limite per ipotesi, ma ha comunque nella tesi l'esistenza del limite.

(Per esercizio verificare che se allora è di accumulazione per .)
Teorema 16 (della funzione monotona).

Sia e supponiamo che sia superiormente limitata con e . Oppure analogamente, se è inferiormente limitata allora abbiamo .
Inoltre è possibile supporre che , ovvero abbiamo .
Inoltre sia una funzione monotona crescente o decrescente (Funzioni, DEF 8.)
Tesi. Allora esiste il limite e abbiamo

DIMOSTRAZIONE del teorema 9.1. (Teorema 16 (della funzione monotona))
Dimostriamo il caso per cui supponiamo che , sia crescente e (in parole il limite "target" è un numero reale): si tratta di provare che Consideriamo dunque la proprietà dell'estremo superiore (Teorema 16 (le proprietà dell'estremo superiore)); Ora considero un e applicando la monotonia della funzione ho Infinite metto le proposizioni assieme, ottenendo che è esattamente la definizione del limite appena enunciato.

Corollario 17 (Corollario 9.1.).

Sia e crescente.
Tesi. Allora esistono i limitie inoltre Abbiamo di fatto una situazione situazione del raffigurata nella figura 9.1..

FIGURA 9.1. (Idea grafica del corollario 9.1.)
Pasted image 20231103222520.png

Osservazione 18 (la definizione di discontinuità di prima specie).

Quindi secondo il COROLLARIO 9.1. possiamo avere le due seguenti situazioni; o il limite destro ed il limite sinistro si coincidono o abbiamo una specie di "salto".
Questo sarà utile quando parleremo della continuità e della discontinuità, riferendoci in particolare ad un teorema che enuncia, data una funzione monotona crescente, in un punto discontinuo possiamo avere solo la discontinuità del tipo "salto" (Definizione 2 (discontinuità di primo ordine / di salto)).

C. Teorema di De l'Hôpital

Teorema di De l'Hôpital
Teorema di De l'Hôpital

Uno dei strumenti più potenti e versatili dell'analisi matematica: il teorema del marchese De l'Hôpital

0. Curiosità storiche

L'Hôpital nacque in una ricca famiglia.
Il padre, Anne-Alexandre, era un "pezzo grosso" dell'epoca; infatti, tra le altre cose, fu generale dell'esercito del Re.
Se, da piccolo, il piccolo Guillaume intraprese una carriera militare, in seguito dovette abbandonarla a causa di rilevanti problemi alla vista.

Ergo, il suo interesse si spostò verso la Matematica.
Nei primi anni '90 del XVII secolo, de l'Hôpital ingaggiò Johann Bernoulli affinché gli insegnasse il calcolo infinitesimale.

Il marchese si mostrò così interessato all'argomento che lo imparò in breve tempo e che riassunse in un manuale intitolato "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes", datato 1696.  
Il suddetto rappresenta il primo manuale di calcolo infinitesimale d'Europa!

Rouse Bell scrive a proposito del libro di de l'Hôpital:
"Il merito di aver redatto il primo trattato che spiega i principi e l'uso del metodo va tutto a de l'Hôpital...Questo lavoro ebbe ampia circolazione; rese la notazione differenziale di uso comune in Francia e contribuì a diffonderla in Europa."

Sappiamo che de l'Hôpital, dal 1694, pagò Bernoulli ben 300 franchi all'anno per raccontargli delle sue scoperte, descritte poi nel suo testo.
Nel 1704, a seguito del decesso di de l'Hôpital, Bernoulli raccontò dell'accordo, asserendo che molti dei risultati nell'Analyse des infiniment petits erano opera sua!

1. Enunciato del teorema

Teorema 1 (di De l'Hôpital).

Siano .
Supponiamo che siano derivabili (Definizione 4 (derivabilità di una funzione)).
Supponiamo inoltre che per ogni punto ( escluso) nel dominio la derivata non si annulla mai;
Supponiamo infine che il limite destro di per sono nulli.
Se esiste il limite
Allora esiste il limite

2. Dimostrazione del teorema

Osservazione 2 (osservazione preliminare; non si annulla mai).

OSS 2.1. (Osservazione preliminare) Supponendo e per , potrà esserci mai un tale che si annulla? No, in quanto sennò avremmo e per il teorema di Rolle (Teorema 1 (di Rolle)) avremmo un in tale che la derivata si annullerebbe; il che è assurdo, in quanto contraddice con le supposizioni iniziali.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di De l'Hôpital (Teorema 1 (di De l'Hôpital))
Prima di tutto per comodità "prolungo" le funzioni in ponendo ; ciò è consentito e non sarebbe restrittivo in quanto le funzioni rimarrebbero comunque continue e derivabili in .
Ora tenendo in conto l'osservazione preliminare (OSS 2.1., Osservazione 2 (osservazione preliminare; non si annulla mai)), ha senso considerare la frazione
Allora "facendo finta di conoscere" il limite
Che tradotto "alla Cauchy" (Definizione 9 (limite infinito di una funzione all'infinito)) vorrebbe dire
Ora considero un punto nell'intervallo e applico il teorema di Cauchy (Teorema 1 (di Cauchy)) alle funzioni in .
Ovvero
e sappiamo che .
Pertanto considerando che non è altro che un punto tra e , si potrebbe "maggiorare" come .
Allora questa uguaglianza vale per l'intorno considerato per : mettendo tutto assieme e riconsiderando la definizione "alla Cauchy" del limite precedentemente scritto, abbiamo
che è proprio la definizione del limite

Osservazione 3 (De l'Hôpital vale anche per limiti all'infinito).

Se al posto di un numero finito pongo ; allora il teorema varrebbe lo stesso. Basta ragionare con la definizione - al posto di -.

Osservazione 4 (De l'Hôpital vale anche per la forma indeterminata ).

Questo teorema vale anche se si verificano entrambi i limiti:

Osservazione 5 (De l'Hôpital vale anche quando il limite diverge a ).

Questo teorema vale anche se il limite vale .

3. Utilità pratica

Proposizione 6 (utilità pratica del teorema di De l'Hôpital).

Se in un limite ho un caso indeterminato del tipo
e se ho
Allora posso calcolare il limite
il quale risultato sarà lo stesso del limite
A parole, se ho un caso indeterminato e ho la funzione sul denominatore che non si annulla mai, allora posso derivare entrambe le frazioni per avere un limite "equivalente".

ATTENZIONE! Questo non è un teorema del tipo "se e solo se"; l'implicazione qui è univoca, pertanto non deve necessariamente valere il viceversa.
Infatti quando si usa il teorema di De l'Hôpital, lo si rende noto usando il simbolo

D. Esempi di limiti di funzione

Esempi di Limiti di Funzione
Esempi di Limiti di Funzione

Esempi di limiti: funzione costante, funzione identità, polinomi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, …

0. Preambolo

Abbiamo appena visto che cos'è generalmente un limite mediante la sua definizione, poi abbiamo anche sviluppato delle strategie per calcolare o verificare l'esistenza dei limiti velocemente.
Quindi è ovvio che questo capitolo richiede la conoscenza (anche parziale) dei seguenti precedenti capitoli:

1. Funzione costante e identità

Esempio 1 (funzione costante).

Sia la funzione costante
Allora il suo limite èed è facile dimostrarla; infatti riscrivendo la definizione di questo limite, la condizione necessaria risulta sempre verificato.

Esempio 2 (funzione identità).

Sia la funzione identità , definita .
Allora il suo limite è che risulta sempre vera ponendo .

Osservazione 3 (i limiti valgono anche in ).

Notiamo che per la funzione identità il limite può valere anche per (i numeri reali estesi); infatti abbiamo ed è sempre vera in quanto possiamo porre o .

Osservazione 4 (ricavare altri limiti dai questi due limiti).

Possiamo sfruttare altri teoremi per ricavare tutta secondo il nostro ragionamento questa vale per dato che stiamo ragionando in "termini discreti".

2. Funzioni quozienti

Esempio 5 (limite della funzione quoziente all'infinito).

Dai teoremi sui limiti (Teorema 8 (limiti finiti e infinitesimi)) , possiamo conosciamo il limite di per che tende all'infinito. Infatti è un infinitesimo.

Esempio 6 (limite della funzione quoziente a zero).

Ora consideriamo la medesima funzione, studiando però il comportamento di che tende a . Innanzitutto e Infatti in questo modo abbiamo il grafico della funzione (figura 2.1.).
Concludiamo che non esiste il limite in quanto il limite destro e sinistro sono diversi.

FIGURA 2.1. (Grafico della funzione quoziente)
Pasted image 20231103223754.png

Esempio 7 (limite della funzione quoziente alla esima potenza).

Allora sfruttando altri teoremi sui limiti di funzione (Teorema 7 (operazioni tra limiti)), dall'esempio precedente possiamo ricavare

3. Funzione radice

Esempio 8 (funzione radice quadrata).

Sia e abbiamo Infatti nella definizione del limite basta prendere .
Ora vediamo cosa succede se .
Per dimostrarlo possiamo fare il seguente.
Quindi basta scegliere .
Ora vediamo che basta infatti scegliere .
Analogamente tutto questo vale per .

4. Funzioni polinomi e razionali

Esempio 9 (limite ad una costante del polinomio).

Sia un polinomio di grado , ovvero del tipo Allora sfruttando le operazioni con i limiti (Teorema 7 (operazioni tra limiti)), possiamo ricavare il suo limite quando questa funzione tende a .

Esempio 10 (limite del polinomio all'infinito).

Nel caso in cui , allora abbiamo e possiamo raccogliere ogni termine con , ottenendo dunque Allora in questo caso dobbiamo vedere quale valore assume il coefficiente dell'ultimo termine . Procediamo dunque per casistica: abbiamo ricavato questo dai teoremi sui limiti di funzione (Teorema 9 (forme indeterminate)).
Analogamente c'è un discorso verosimile per il limite quando la funzione tende a , però al contrario. Ovvero

Esempio 11 (limite finito della funzione razionale di grado ).

Sia la funzione razionale un quoziente tra due polinomi di grado ovvero del tipo Allora sfruttando dei teoremi (Teorema 7 (operazioni tra limiti)) possiamo avere e bisogna avere che Se invece la sopra non viene verificata (ovvero il polinomio al denominatore è ) bisogna vedere se è vera la seguente. A. Se è vera (ovvero che vale ), allora dobbiamo usare il teorema di Ruffini per cui sappiamo che un polinomio si annulla in se e solo se è un fattore. Dunque a quel punto si può semplificare la frazione e vedere il risultato; può verificare che rimane il numeratore (e quindi il limite tende a ) oppure che rimane il denominatore (e quindi il limite tende a ).
B. Se è invece falsa (ovvero che non vale ), allora il limite può essere o , oppure può non esistere se il limite destro è diverso dal limite sinistro. C'è infatti un problema del segno: bisogna vedere il segno del numeratore.

Esempio 12 (limite all'infinito della funzione razionale).

Vogliamo valutare Allora con un ragionamento simile all'esempio precedente (Esempio 10 (limite del polinomio all'infinito)) possiamo raccogliere in entrambi i polinomi per o e avere Raggiunto qui dobbiamo procedere per casistica per :
A. Se (ovvero i polinomi sono dello stesso grado) allora il limite tende a
B. Se allora il limite tende a , il segno del limite varia a seconda del segno della costante
C. Se allora il limite tende a .

5. Funzioni trigonometriche

Questa sezione ovviamente richiede la conoscenza di Funzioni trigonometriche

Esempio 13 (funzione seno).

Ricordiamoci delle funzioni di prostaferesi (Osservazione 12 (formule di prostaferesi)).
Voglio dimostrare che Allora parto dalla distanza euclidea e conoscendo le formule di prostaferesi ottengo e sapendo che possiamo "maggiorare" questa espressione con allora Ora ci ricordiamo che (infatti basta pensare che è la lunghezza della retta e è invece la coordinata del punto su cui cadiamo quando facciamo il processo di "avvolgimento" di questa retta; oppure per convincerci di questo basta disegnare i grafici di queste due funzioni, figura 5.1.).
Dunque otteniamo ovvero allora nella definizione del limite (Definizione di Limite di funzione) basta scegliere in quanto abbiamo appena verificato che sicuramente quest'ultima espressione è sicuramente vera.

FIGURA 5.1. ()
Pasted image 20231103223810.png

Esercizio 14 (funzione coseno).

Esercizio lasciato al lettore: provare che

Esempio 15 (funzione tangente).

Invece per la funzione tangente si ha che: il limite di per non è definita in quanto il limite destro e sinistro di questa non sono uguali; infatti e questi valgono per la permanenza del segno; infatti se da sinistra allora sicuramente vale ciò che abbiamo detto prima. Analogo per l'altro limite.
Quindi

Esempio 16 (funzione arcotangente).

Riprendiamo invece la funzione arcotangente .
Osserviamo dal grafico di tale funzione (figura 5.4.) che valgono le seguenti:

FIGURA 5.4. (Funzione )
Pasted image 20231103214329.png

Esempio 17 (funzione arcoseno e arcocoseno).

Riprendiamo ora le funzioni e .
Dai grafici di queste (figura 5.5.) osserviamo che e

FIGURA 5.5. (Grafici di , )
“Pasted image 20231017172546.png” could not be found.

6. Funzione esponenziale e logaritmica

Per la funzione esponenziale e logaritmica si tengono in conto i risultati delle definizioni delle funzioni esponenziali e logaritmiche (Proposizione 2 (le prime proprietà dell'esponenziale sui naturali), Teorema 14 (le proprietà del logaritmo)).

Esponenziale vs quoziente 1

Teorema 18 (l'esponenziale confrontato con l'identità).

In alcuni esempi dei limiti di successione (Esempio 2 (limite dell'esponenziale contro potenza)) abbiamo visto che Allora si può provare che

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.1. (Teorema 18 (l'esponenziale confrontato con l'identità))
Partiamo dal fatto che e chiamo la parte intera di . Allora si vede che Naturalmente Allora li combino, ottenendoe osservando che allora per il teorema dei due carabinieri (Osservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni)), abbiamo

Esponenziale vs quoziente k

Teorema 19 (l'esponenziale è l'infinito "più grande").

Voglio calcolare In questo esempio ho una forma indeterminata del tipo (Teorema 9 (forme indeterminate)); la domanda che ci poniamo è il seguente: "chi vince tra l'esponenziale e il quoziente ? Ovvero avremmo o ?" Spoiler: vincerà l'esponenziale e di conseguenza il limite è .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.2. (Teorema 19 (l'esponenziale è l'infinito "più grande"))
Qui uso le proprietà degli esponenti (Funzione esponenziale e Logaritmica, TEOREMA 1.5.). Ora considero il limite di e facendo la sostituzione con ho che è infatti una situazione del tipo ESEMPIO 6.1..
Allora ho una situazione del tipo Pertanto il risultato finale è

Esponenziale vs potenza

Corollario 20 (l'esponenziale decresce il più velocemente).

Ora facciamo lo stesso scontro, solo che al posto del quoziente abbiamo la potenza . Allora Allora qui ci chiediamo quale "decresce" la più velocemente; oppure ? Ora vediamo.
Poniamo, mediante la sostituzione di variabile, ; allora Notiamo che quindi abbiamo una situazione del tipo Allora il limite è aggiudicandoci un'altra vittoria per l'esponenziale.

Logaritmo vs identità

Esempio 21 (la decrescita del logaritmo viene annullata dall'identità).

Voglio calcolare notiamo che questa è una situazione del tipo , ovvero una forma indeterminata. Allora procediamo per sostituzione di variabile, ponendo ; che è una situazione del tipo presentato in un altro limite (Corollario 20 (l'esponenziale decresce il più velocemente)) con .
Generalizzando si ha

Esempio 22 (logaritmo vs radice quadrata).

ESEMPIO 6.5. (Logaritmo vs radice quadrata)
Analogamente procediamo per sostituzione; allora

Logaritmo vs quoziente

Esempio 23 (il logaritmo cresce più lentamente).

Come di consueto procedo per sostituzione: ovvero ; Sostituisco di nuovo le variabili, e ho

7. Limiti fondamentali

Ora illustriamo ciò che chiameremo come i limiti fondamentali.
Prima di considerare il primo esempio facciamo le seguenti osservazioni.

Osservazione 24 (calcolare l'area del settore circolare).

OSS 7.1. Voglio calcolare l'area del settore circolare con raggio e angolo e la lunghezza dell'arco (figura 7.1.)
Idea. Che vuol dire calcolare l'area di una figura? Questo significa prendere una "misura" standard per misurare l'area, poi per contare. Infatti ad esempio, per calcolare l'area di un triangolo partiamo dall'area di due rettangoli "distorti" che formano un triangolo.
Analogamente facciamo la stessa cosa col settore circolare: la dividiamo in "triangolini" piccolissimi, poi li "apro" disponendoli fila per fila.
Ora arriviamo al punto cruciale: "faccio finta" (oppure approssimo) la lunghezza dell'arco con quello della coda. Graficamente il ragionamento consiste nella figura 7.2.
Dove la "base" di questi triangoli è in quanto questa è proprio la "base" della figura originaria e l'"altezza" è il raggio .
Quindi possiamo unire tutti questi triangoli in uno singolo triangolo con le stesse misure e avere dunque un singolo triangolo con base e altezza . Usiamo dunque la formula per calcolare l'area di questo triangolo.

FIGURA 7.1. (Il problema)
Pasted image 20231103223827.png

FIGURA 7.2. (Il fulcro del ragionamento)
Pasted image 20231103223910.png

Osservazione 25 (relazione tra i triangoli formatosi col settore circolare).

Ora, riprendendo il cerchio unitario , traccio tre figure geometriche di cui due sono triangoli ed uno è il settore circolare. Segniamo i tre triangoli nella figura 7.3..
Chiaramente si vede che L'area del triangolo delineato dalla coda è Invece l'area del settore è Ora l'area del triangolo ottenuto "estendendo" la retta orizzontale in e la "diagonale" che taglia il cerchio è ed è ottenuta facendo le proporzioni tra il triangolo e questo triangolo dove la base è (ed è possibile farlo in quanto i due triangoli in merito sono simili). Infatti Allora possiamo concludere che in questa figura sussiste la seguente relazione per :

FIGURA 7.3. (Le aree segnate)
Pasted image 20231103223928.png

Limite fondamentale sinx / x

Teorema 26 (Teorema 7.1. (primo limite fondamentale ).

Il primo limite fondamentale noto che conosceremo è il limite

DIMOSTRAZIONE del teorema 7.1. (Teorema 26 (Teorema 7.1. (primo limite fondamentale ))
Voglio calcolare e usando alcuni dei Teoremi sui Limiti di Funzione per trattare i limiti separatamente le con , otteniamo la frazione , ovvero una forma indeterminata. Dobbiamo allora trovare un modo alternativo di calcolare questo limite; questo è possibile grazie alle osservazioni precedenti già fatte, in particolare l'osservazione 7.2. (Osservazione 25 (relazione tra i triangoli formatosi col settore circolare)).
Infatti possiamo manipolare l'espressione finale per ottenere il seguente: Per il teorema dei due carabinieri (Teoremi sui Limiti di Funzione, TEOREMA 4.1.), abbiamo i seguenti: Però ricordiamoci che è una funzione pari (Funzioni, DEF 9.), in quanto abbiamo due funzioni dispari; quindi questo limite può valere anche per il limite destro . Concludiamo dunque

Corollario 27 (altro "mini" limite fondamentale ).

Ci sarà utile anche ricordare il limite Per calcolarlo dobbiamo avvalerci di un trucco, ovvero quello di moltiplicare per un'espressione equivalente a . In questo caso prendiamo Dunque il nostro limite diventa Concludiamo allora

Limiti esponenziali e logaritmici

Dai risultati del capitolo 6 (^96da3e). è opportuno ricordarsi i seguenti limiti notevoli*:

Corollario 28 (limiti esponenziali e logaritmici).

Limite fondamentale (1+1/n)^n

Dai risultati di Esempi di Limiti di Successione, in particolare l'ESEMPIO 1.4., abbiamo visto che DETOUR. Si nota che da adesso in poi, quando si scrive , senza specificare le loro basi si implicitamente intende e . Facciamo questo in quanto vedremo che usando questa nomenclatura diventerà tutto più semplice.

Teorema 29 (limite fondamentale ).

Si nota il seguente limite fondamentale

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 7.2. (Teorema 29 (limite fondamentale ))
Voglio calcolare il limite Idea. Il ragionamento è analogo a quello presentato nel teorema 6.1. (^7c9b77), ovvero quella di usare la parte intera . Allora sappiamo già che Ora ci aggiungiamo da tutte le parti, poi li eleviamo elle loro rispettive potenze di partenza: Adesso analizziamo il membro sinistro e destro.

  1. Membro sinistro
  2. Membro destroVediamo che ambo i lati convergono a ; di conseguenza per il teorema dei due carabinieri (Teorema 6 (dei due carabinieri)) abbiamo
Corollario 30 (forma "negativa" del limite fondamentale di ).

Si nota che vale anche il limite

DIMOSTRAZIONE del corollario 7.3. (Corollario 30 (forma "negativa" del limite fondamentale di ))
Ora voglio calcolare L'idea principale è quella di usare la sostituzione di variabile, ovvero . Allora

Limite fondamentale (1+n)^(1/n)

E. Definizione di limite di successione

Limite di Successione
Limite di Successione

Definizione di limite di successione.

0. Argomenti ed osservazioni preliminari

Questo argomento richiede la conoscenza degli argomenti seguenti.

Inoltre facciamo alcune osservazioni preliminari che ci possono aiutare a comprendere il
contenuto di questa pagina.

Osservazione 1 (rappresentazione delle successioni sul piano cartesiano ).

Posso rappresentare una successione sul piano cartesiano mediante la maniera rappresentata nella figura 0.A.; alternativamente si può rappresentare una successione anche come dei punti sulla retta reale.

FIGURA 0.A. (Osservazione 0.A.)
Pasted image 20231103224507.png

1. Limite di Successione

Osservazione 2 (origine del concetto).

Voglio introdurre il concetto di limite (Definizione 2 (formulazione generale e rigorosa del limite di una funzione che tende ad un punto di accumulazione)) per una successione (Definizione 2 (successione a variabile reale)).

Innanzitutto mi chiedo quale sia il dominio di una qualsiasi successione: la risposta è l'insieme dei numeri naturali .
Se posso definire il limite di una funzione che si avvicina ad un punto di accumulazione del dominio, allora posso certamente definire il limite di una successione che si avvicina ad un punto
di accumulazione per .

Tuttavia come osservato (Punti di aderenza e di accumulazione > ^740a07), non ci sono punti di accumulazione in ; quindi bisogna "ampliare" i nostri orizzonti e considerare invece , in particolare il simbolo . Per definizione possiamo definire il punto di accumulazione di come una semiretta qualsiasi .

In questo caso possiamo prendere come punto di accumulazione per .
Allora l'unico valore di cui ha senso calcolare il limite di una successione è ; di conseguenza possiamo scrivere in una e sola maniera univoca.

Definizione 3 (limite di successione).

Allora definiamo come ovvero, supponendo , oppure se , Graficamente ho la figura 1.1..

FIGURA 1.1. (definizione di limite di successione)
Pasted image 20231103224524.png

Definizione 4 (convergenza e divergenza di una successione).

Se esiste e il limite è un numero , allora si dice che è convergente.
Altrimenti se esiste ma ho allora si dice che è divergente a .

2. Proprietà di limiti di successione

Osservazione 5 (i teoremi per i limiti di funzioni valgono anche per i limiti di successioni).

Osserviamo che per il limite di successione valgono tutte le proprietà dei limiti di funzione (Teoremi sui Limiti di Funzione), in quanto stiamo considerando un caso particolare di un caso generale.
Quindi valgono le seguenti:

  • L'unicità del limite
  • Permanenza del segno
  • Teorema del confronto
  • Teorema dei due carabinieri
  • Operazioni sui limiti
  • Limite zero e infinitesimo
  • Forme indeterminate

Inoltre abbiamo altri due altri teoremi, specifici per le successioni.

Teorema 6 (le sottosuccessioni convergono allo stesso valore delle loro successioni padre).

Sia una successione a valori in , e una successione estratta di (Successione e Sottosuccessione).
Tesi. Supponendo che allora vale la seguente implicazione

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 6 (le sottosuccessioni convergono allo stesso valore delle loro successioni padre))
Il punto cruciale consiste nel seguente.
Se vuol dire adesso considero la sotto successione , quale numero deve essere superata da ?
Ovvero mi chiedo se vale che Scopriamo che basta scegliere in quanto se i valori di è strettamente crescente, allora sicuramente ho In parole, l'idea consiste nel pensare che il "peggior" caso di successione estratta di una successione può essere la successione stessa (infatti estraggo dalla successione la stessa successione); quindi se considero la stessa successione posso avere . In altri casi devo scegliere in un punto più "lontano", in particolare se #Teorema

Teorema 7 (esistenza dei limiti delle successioni monotone).

Se la successione è monotona, allora esiste sempre il limite

Corollario 8 (convergenza delle successioni monotone e limitate).

Se è monotona e limitata (Definizione 3 (successione limitata)), allora sicuramente il limite è convergente.

Osservazione 9 (nesso tra limiti di funzione e di successione).

Se consideriamo la successione come la restrizione del dominio da a di una qualsiasi funzione di variabile reale, ovvero se considero e allora posso fare la seguente osservazione.

Se conosco il limite della funzione allora in automatico conosco pure il limite della successione Notiamo che vale anche il viceversa (inversa); se conosco il limite di una successione, allora conosco anche il limite di una funzione per .

ATTENZIONE! Da qui non bisogna dedurre vale anche la contraria (tesi negata); se il limite della funzione per non è definita, allora ciò non significa che non è neanche definita. Infatti può esistere quando non esiste .

Esempio 10 (osservazione 2.2.).

Vediamo alcuni esempi di quest'ultima osservazione.

2. Voci correlate

F. Esempi di limiti di successione

Esempi di Limiti di Successione
Esempi di Limiti di Successione

Alcuni esempi di limiti di successione, in particolare quelle notevoli

0. Prerequisiti

Ovviamente questo capitolo serve la conoscenza di Limite di Successione.
Inoltre è opportuno tenere a mente alcuni risultati di Assiomi di Peano, il principio di induzione, in particolare Esempi di Induzione

1. Limiti notevoli (per successioni)

Esponenziale a alla n

Esempio 1 (limite dell'esponenziale).

Sia ; considero il limite della successione Procediamo prima per casistica:
Se , il limite diverge per : Infatti se ci ricordiamo che , allora ho Allora per il teorema del confronto (Teorema 5 (del confronto)), ho Stesso discorso per tutti i numeri .
Allora generalizzo scrivendo Usando la disuguaglianza di Bernoulli (Esempi di Induzione > ^66c5ee) che enuncia il seguente: Allora ponendo , ho E calcolando la seconda, ottengo Pertanto, per il teorema del confronto

Esponenziale a alla n diviso per n

Esempio 2 (limite dell'esponenziale contro potenza).

Considero un caso analogo a quello precedente.
Qui basta usare la disuguaglianza di Bernoulli incrementata (Esempi di Induzione > ^815bb7): ovvero e dividendo da ambo le parti per , ottengo e considerando che la seconda espressione tende a , visto che allora ho

Radice n di a

Esempio 3 (limite della radice n-esima di un numero).

Ora considero una nuova funzione: Qui basta osservare il grafico della funzione radice (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto), che è la funzione potenza "capovolta" (figura 1.3.).

Possiamo quindi congetturare che (ovvero che la successione è convergente a ).
Quindi lo dimostriamo:
Supponendo e considerando , sappiamo che Allora se avrò che Ora rileggiamo l'espressione iniziale ,

FIGURA 1.3. (Esempio 1.3.)
Pasted image 20231103165110.png

Esercizio 4 (radice n-esima di n).

Con un conto analogo posso dimostrare che (Per esercizio)

Limite fondamentale

Teorema 5 (1+1/n)^n).

Consideriamo uno dei limiti più importanti dell'analisi matematica; Non è immediato capire se questo limite converge o diverge, in quanto da un lato sappiamo che ; ma dall'altro sappiamo che .
Enunciamo che questo limite esiste e converge ad un numero reale che chiameremo , e si trova tra e ;

DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 5 (1+1/n)^n))
Uso il teorema sulle successioni monotone e limitate per dimostrare che innanzitutto il limite converge: si tratta di provare che è sia monotona che limitata.

  1. Suppongo che Ora uso il teorema del binomio (Coefficiente Binomiale > ^66fdbf) per sviluppare . Ora considerando l'ultima espressione, abbiamo che ogni "secondo membro" (ovvero dove stanno tutti i quozienti divisi per ) è minore o uguale a ; infatti allora posso "maggiorare" questa con la somma dei "primi membri" (ovvero dove stanno tutti i fattoriali) Ora se ricordo che , posso "minorare" quest'ultima con Ora se prendo in considerazione tutti i valori da in poi, mi accorgo che ho una serie geometrica, che converge esattamente a questo valore (Esempi di Induzione > ^7a9cd3): Quindi alla fine ottengo Inoltre abbiamo aggiunto che il valore è maggiore di in quanto ho comunque il numero aggiunto a dei numeri piccoli (vedere lo sviluppo binomiale all'inizio).
  2. Ora voglio dimostrare che Uso lo stesso sviluppo binomiale di 1.; e e confrontando ogni termine della secondo sviluppo, scopriamo che ogni termine della ii. è maggiore o uguale ad ogni termine della i.. Pertanto è vera la tesi, ovvero che è monotona crescente.
Definizione 6 (costante di Eulero / Nepero).

Indico il valore per cui il limite converge con e si chiama costante di Eulero, oppure costante di Nepero.

G. Trucchetti per limiti

Trucchetti per Limiti
Trucchetti per Limiti

Lista di "trucchetti" utili per valutare limiti: modi di manipolare espressioni algebriche, proprietà, …, etc.

Trucco 1. Divide et impera

Osservazione 1 (divide et impera).

Dai teoremi sui limiti (Teorema 7 (operazioni tra limiti)) sappiamo che se vale che
allora valgono che
Allora possiamo sfruttare questo teorema per "scomporre" dei limiti piuttosto complessi in limiti più semplici da valutare. Infatti non stiamo facendo altro che applicare questo esatto teorema.

Osservazione 2 (attenzione!).

Bisogna stare attenti che in certi casi non si può applicare questa tecnica!
In particolare non lo si applica quando abbiamo certi casi.

  1. Uno dei limiti non esistono (allora in questo caso il limite in generale potrebbe non esistere)
  2. Uno dei limiti sono infiniti (bisogna vedere la "gerarchia degli infiniti")
  3. Li separo ma non li valuto "contemporaneamente" (si otterranno dei risultati sbagliati!)

Trucco 2. Sfruttare gli elementi neutri delle operazioni

Osservazione 3 (elementi neutri delle operazioni).

Notiamo che possiamo sfruttare i c.d. elementi neutri delle operazioni, ovvero dei numeri che "non vanno ad influire" sul risultato di un'espressione algebrica.
Per la somma l'elemento neutro è ; infatti .
Invece per il prodotto l'elemento neutro è ; infatti .

Possiamo sfruttarli in particolare per "trasformare" delle espressioni algebriche in limiti notevoli, oppure per "sbarazzarci" delle situazioni "scomode".

Osservazione 4 (razionalizzare espressioni con le radici).

Questo primo trucchetto può essere già declinato nella tecnica della "razionalizzazione"; ovvero se abbiamo in una frazione (o senza) delle espressioni in cui compaiono delle radici

, allora potrebbe essere una buona idea quella di sfruttare la seguente tecnica.
Sapendo che , allora possiamo avere

Trucco 3. Sfruttare i limiti notevoli

Osservazione 5 (sfruttare limiti notevoli).

Come accennato prima, possiamo sfruttare il trucchetto appena citato per "trasformare" limiti complessi in dei limiti che assomigliano a dei limiti notevoli.
Teniamo in mente che i limiti notevoli sono i seguenti.

Esempio 6 (esempio specifico).

Come esempio specifico sfruttiamo il secondo limite notevole presentato prima.
Supponiamo di avere un limite del tipo
Allora posso sfruttare il trucco 2. aggiungendo all'espressione all'interno del coseno per farlo "assomigliare" al secondo limite notevole, poi moltiplichiamo per .
Riepilogando,
Ovvero

Trucco 4. Gerarchizzare gli infiniti

H. Esercizi sui Limiti

Esercizi sui Limiti
Esercizi sui Limiti

Tutti gli esercizi sui limiti

0. Propedeuticità

Questa parte (come è ben ovvia) richiede la conoscenza preliminare della parte teorica sui limiti; ovvero bisogna conoscere i contenuti di tutti i capitoli prima di poter affrontare gli esercizi.

1. Esercizi proposti in lezione

Qui si raccolgono tutti gli esercizi proposti da D.D.S. durante le lezioni dell'anno accademico 2023-2024.
Giorno 30.10.2023
ESERCIZIO 1.1. ESERCIZIO 1.2. ESERCIZIO 1.3.

ESERCIZIO 1.4.

ESERCIZIO 1.5. ESERCIZIO 1.6. ESERCIZIO 1.7. ESERCIZIO 1.8. ESERCIZIO 1.9. ESERCIZIO 1.10. ESERCIZIO 1.11. ESERCIZIO 1.12. ESERCIZIO 1.13. ESERCIZIO 1.14. ESERCIZIO 1.15. Giorno 06.11.2023
ESERCIZIO 1.16.
ESERCIZIO 1.17. ESERCIZIO 1.18. ESERCIZIO 1.19. ESERCIZIO 1.20. ESERCIZIO 1.21. ESERCIZIO 1.22. Giorno 09.11.2023
ESERCIZIO 1.23.

Table Of Contents
A. Definizione di Limite di funzione
0. Argomenti propedeutici e/o voci correlate
1. Idea fondamentale
2. Formulazione rigorosa del concetto del limite di funzione
2.1. Infinitesimo
3. Limite destro e sinistro
4. Strategia per verificare l'esistenza di limiti
B. Teoremi sui limiti di funzione
0. Preambolo
1. Unicità del limite
2. Permanenza del segno
3. Teorema del confronto
4. Teorema dei due carabinieri
5. Operazioni con i limiti
6. Limiti infiniti e infinitesimi
7. Forme indeterminate
8. Limite della funzione composta
Cambio della variabile del limite
9. Limite della funzione monotona
C. Teorema di De l'Hôpital
0. Curiosità storiche
1. Enunciato del teorema
2. Dimostrazione del teorema
3. Utilità pratica
D. Esempi di limiti di funzione
0. Preambolo
1. Funzione costante e identità
2. Funzioni quozienti
3. Funzione radice
4. Funzioni polinomi e razionali
5. Funzioni trigonometriche
6. Funzione esponenziale e logaritmica
Esponenziale vs quoziente 1
Esponenziale vs quoziente k
Esponenziale vs potenza
Logaritmo vs identità
Logaritmo vs quoziente
7. Limiti fondamentali
Limite fondamentale sinx / x
Limiti esponenziali e logaritmici
Limite fondamentale (1+1/n)^n
Limite fondamentale (1+n)^(1/n)
E. Definizione di limite di successione
0. Argomenti ed osservazioni preliminari
1. Limite di Successione
2. Proprietà di limiti di successione
2. Voci correlate
F. Esempi di limiti di successione
0. Prerequisiti
1. Limiti notevoli (per successioni)
Esponenziale a alla n
Esponenziale a alla n diviso per n
Radice n di a

Limite fondamentale

G. Trucchetti per limiti
Trucco 1. Divide et impera
Trucco 2. Sfruttare gli elementi neutri delle operazioni
Trucco 3. Sfruttare i limiti notevoli
Trucco 4. Gerarchizzare gli infiniti
H. Esercizi sui Limiti
0. Propedeuticità
1. Esercizi proposti in lezione