data: 2023-10-24
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Limiti - Sommario
tipologia: sommario
stato: "0"A. Definizione di Limite di funzione
Tutto sui limiti.
data: 2023-10-24
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Definizione di Limite di funzione
tipologia: appunti
stato: "1"Idea fondamentale del limite di una funzione; definizione di limite in tutti i casi; dimostrazione dell'esistenza di un limite. Definizione di limite destro e sinistro.
Per affrontare uno degli argomenti più importanti dell'analisi matematica, ovvero i limiti, è necessario conoscere e ricordare alcuni argomenti:
Prendiamo la una funzionefunzione di variabile reale (DEF 1.1.) del tipo
Ora voglio capire come posso rigorosamente formulare la seguente frase:
"Se
Ovvero col seguente grafico abbiamo la figura 1.1.
Oppure un caso più particolare, con
FIGURA 1.1. (Idea di base)
FIGURA 1.2. (Esempio particolare
Ora diamo una formalizzazione rigorosa del concetto appena formulato sopra.
Sia
Allora denotiamo il limite di funzione per un punto di accumulazione come
Questa definizione del limite può essere può essere interpretata in più casi.
Siano
Ora "interpretiamo" la definizione del limite di
In sintesi;
FIGURA 2.2. (Formulazione epsilon-delta del limite)
Grazie a questa interpretazione è possibile creare un'analogia per il limite; infatti se immaginiamo l'intorno di
Alternativamente è possibile pensare all'esistenza del limite come una "macchina" che dato un valore
Ora interpretiamo
Analogamente vale lo stesso per
FIGURA 2.3. (Idea del limite infinito di una funzione)
Ora abbiamo
FIGURA 2.4. (Idea grafica del limite all'infinito)
Finalmente consideriamo il caso
FIGURA 2.5. (Idea grafica del limite infinito all'infinito)
APPROFONDIMENTO PERSONALE a. Usando la formulazione rigorosa del limite (^c5e4ecDefinizione 2 (formulazione generale e rigorosa del limite di una funzione che tende ad un punto di accumulazione)) e ponendo
DEF 2.a. Si definisce un infinitesimo come una grandezza variabile
OSS 2.a. Notiamo che la definizione dell'infinitesimo diventerà importante per il calcolo degli integrali, in particolare per la somma di Riemann (Integrabilità secondo Riemann > ^64ad3bDefinizione 2 (integrale di Riemann di una funzione su un intervallo)).
Estratto tratto da Le matematiche: analisi, algebra e geometria analitica di A.D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov e M. A. Lavrent'ev (1974, ed. Bollati Boringhieri, trad. G. Venturini).
PREMESSA. Sia una funzione
Si denota Il limite della funzione
Analogamente il limite della funzione
FIGURA 3.1. (Limite destro e sinistro di una funzione)
Si può immediatamente verificare che
Nota: definizione ricavata direttamente dalla dispensa di D. D. S.
Avevamo appena osservato che coi limiti destri e/o sinistri abbiamo semplicemente fatto una restrizione all'insieme
Dunque definiamo il limite della funzione ristretta a
La nostra definizione presuppone che dobbiamo eseguire una serie infinita di verifiche per dimostrare che un limite esiste; infatti si dovrebbe scegliere tutti gli
Vogliamo invece sviluppare una serie di strategie per verificare l'esistenza dei limiti, come i teoremi e le proprietà sui limiti come vedremo in Teoremi sui Limiti di FunzioneTeoremi sui Limiti di Funzione, oppure interpretando la definizione del limite per poter trovare una "formula" che associa ad ogni epsilon un delta.
Voglio verificare che
Invece se
"Completando" la dimostrazione ho:
data: 2023-10-24
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teoremi sui Limiti di Funzione
tipologia: appunti
stato: "1"Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno, teorema del confronto, teorema dei due carabinieri, operazioni con i limiti, limiti infinitesimi e limiti infiniti, forme indeterminate.
In questo capitolo si vuole creare una serie di strategie per poter verificare l'esistenza dei limiti senza dover ricorrere a fare dei calcoli infiniti in quanto richiesta dalla Definizione di Limite di funzioneDefinizione di Limite di funzione.
Una di queste strategie consiste proprio enunciare e dimostrare una serie di teoremi.
Sia
Tesi. Poi siano i valori limiti
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^8aa5b9Teorema 1 (dell'unicità del limite))
Si procede tramite una dimostrazione per assurdo.
Supponiamo dunque
Ora li scegliamo: applicando le definizioni di limite, ovvero
Questo teorema è anche utile per dimostrare la non-esistenza di un limite: prendendo la contronominale di questo teorema. Ovvero se due restrizioni della stessa funzione
Sia
Sia definito il limite
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^06a2e3Teorema 3 (della permanenza del segno))
Parto dalle definizione del limite, ovvero
Dunque viene verificato che esiste un intorno
Posso usare questo teorema "alla rovescia", prendendo la contronominale dell'enunciato; ovvero se
Siano
Tesi. Supponendo che siano vere le seguenti condizioni:
i. Che esista il limite
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema del confronto (^7c97c5Teorema 5 (del confronto))
Sia ad esempio
Siano
Tesi. Supponendo che
FIGURA 4.1. (L'idea del teorema)
FIGURA 4.2. (Immagine divertente-illustrativa del teorema)
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema dei due carabinieri (^04916cTeorema 6 (dei due carabinieri)])
Consideriamo solamente il caso per
Per la definizione del limite, abbiamo
Per capire l'idea di questo ragionamento prendiamo dei numeri:
Dunque sia
Ora presentiamo una serie di proposizioni, raccolte in un unico teorema, e queste ci permettono di fare delle operazioni tra limiti.
Siano
Tesi. Supponendo che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE dei primi due punti del teorema 5.1. (^48b492Teorema 7 (operazioni tra limiti))
Prendiamo la definizione dei limiti
Infatti
Qui il ragionamento per dimostrare la tesi diventa più sottile; la dimostrazione richiederà l'uso della disuguaglianza triangolare del valore assoluto (Funzioni di potenza, radice e valore assolutoFunzioni di potenza, radice e valore assoluto, OSS 3.1.1.).
Secondo la definizione del limite, se ho
Ora l'unico apparente "intralcio" è
Allora tutto il quantitativo al membro destro diventa piccolo a piacimento.
Notiamo che in TEOREMA 5.1. per il quoziente tra limiti abbiamo imposto che
Sia
Tesi. Allora valgono le seguenti:
Limite infinitesimo
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.1. (^380b0fTeorema 8 (limiti finiti e infinitesimi))
Dimostriamo solo il limite infinitesimo, in quanto la dimostrazione del limite infinito è analoga.
Partiamo dalla definizione del limite di
Ora definiamo delle forme indeterminate di alcuni limiti.
Tesi 1. Sia
Tesi 2. Sia
Tesi 3 (dalla dispensa). Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della tesi 1 del teorema 7.1. (^adc58aTeorema 9 (forme indeterminate))
Partiamo dalla definizione del limite di
Ho una funzione
Suppongo che esiste il limite di
Allora posso fare la funzione composita
Quindi voglio capire se posso affermare il seguente:
FIGURA 8.1. (Idea del concetto)
Siano
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE (FACOLTATIVA) del teorema 8.1. (^55caf4Teorema 11 (del limite della funzione composta))
Riscriviamo i limiti
Allora posso scrivere
Per fortuna nostra le condizioni supplementari appena descritte di norma valgono quasi sempre.
Possiamo sfruttare questo teorema per poter svolgere ciò che chiameremo il meccanismo del "cambio della variabile del limite"; questo è un meccanismo non importante, ma importantissimo. Vediamo un esempio in cui entra in gioco questo meccanismo.
Voglio calcolare il limite
Ora verifichiamo se vale l'ipotesi aggiuntiva, ovvero se è vera che
Dunque possiamo scrivere il limite iniziale come la composizione tra due funzioni, di cui una è la originaria. Allora
Osserviamo che fino ad adesso tutti i nostri teoremi sui limiti di funzione enunciati in questa pagina avevano l'esistenza di qualche limite per ipotesi.
Il teorema che enunceremo sarà speciale da questo punto di vista: infatti non avrà l'esistenza di un qualche limite per ipotesi, ma ha comunque nella tesi l'esistenza del limite.
DIMOSTRAZIONE del teorema 9.1. (^e5c912Teorema 16 (della funzione monotona))
Dimostriamo il caso per cui supponiamo che
Sia
Tesi. Allora esistono i limiti
FIGURA 9.1. (Idea grafica del corollario 9.1.)
Quindi secondo il COROLLARIO 9.1. possiamo avere le due seguenti situazioni; o il limite destro ed il limite sinistro si coincidono o abbiamo una specie di "salto".
Questo sarà utile quando parleremo della continuità e della discontinuità, riferendoci in particolare ad un teorema che enuncia, data una funzione monotona crescente, in un punto discontinuo possiamo avere solo la discontinuità del tipo "salto" (Classificazioni di Discontinuità > ^006feeDefinizione 2 (discontinuità di primo ordine / di salto)).
data: 2023-11-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teorema di De l'Hôpital
tipologia: appunti
stato: "1"Uno dei strumenti più potenti e versatili dell'analisi matematica: il teorema del marchese De l'Hôpital
TRATTO DAL SITO
http://scienzaemusica.blogspot.com/2012/06/de-lhopital-e-il-quesito-dellesame-di.html
L'Hôpital nacque in una ricca famiglia.
Il padre, Anne-Alexandre, era un "pezzo grosso" dell'epoca; infatti, tra le altre cose, fu generale dell'esercito del Re.
Se, da piccolo, il piccolo Guillaume intraprese una carriera militare, in seguito dovette abbandonarla a causa di rilevanti problemi alla vista.
Ergo, il suo interesse si spostò verso la Matematica.
Nei primi anni '90 del XVII secolo, de l'Hôpital ingaggiò Johann Bernoulli affinché gli insegnasse il calcolo infinitesimale.
Il marchese si mostrò così interessato all'argomento che lo imparò in breve tempo e che riassunse in un manuale intitolato "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes", datato 1696.
Il suddetto rappresenta il primo manuale di calcolo infinitesimale d'Europa!
Rouse Bell scrive a proposito del libro di de l'Hôpital:
"Il merito di aver redatto il primo trattato che spiega i principi e l'uso del metodo va tutto a de l'Hôpital...Questo lavoro ebbe ampia circolazione; rese la notazione differenziale di uso comune in Francia e contribuì a diffonderla in Europa."
Sappiamo che de l'Hôpital, dal 1694, pagò Bernoulli ben 300 franchi all'anno per raccontargli delle sue scoperte, descritte poi nel suo testo.
Nel 1704, a seguito del decesso di de l'Hôpital, Bernoulli raccontò dell'accordo, asserendo che molti dei risultati nell'Analyse des infiniment petits erano opera sua!
Siano
Supponiamo che
Supponiamo inoltre che per ogni punto (
OSS 2.1. (Osservazione preliminare) Supponendo
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di De l'Hôpital (^67a7cdTeorema 1 (di De l'Hôpital))
Prima di tutto per comodità "prolungo" le funzioni
Ora tenendo in conto l'osservazione preliminare (OSS 2.1., ^ce8190Osservazione 2 (osservazione preliminare;
Ovvero
Pertanto considerando che
Allora questa uguaglianza vale per l'intorno considerato per
Se al posto di
Questo teorema vale anche se si verificano entrambi i limiti:
Questo teorema vale anche se il limite
Se in un limite ho un caso indeterminato del tipo
ATTENZIONE! Questo non è un teorema del tipo "se e solo se"; l'implicazione qui è univoca, pertanto non deve necessariamente valere il viceversa.
Infatti quando si usa il teorema di De l'Hôpital, lo si rende noto usando il simbolo
data: 2023-10-26
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esempi di Limiti di Funzione
tipologia: appunti
stato: "1"Esempi di limiti: funzione costante, funzione identità, polinomi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, …
Abbiamo appena visto che cos'è generalmente un limite mediante la sua definizione, poi abbiamo anche sviluppato delle strategie per calcolare o verificare l'esistenza dei limiti velocemente.
Quindi è ovvio che questo capitolo richiede la conoscenza (anche parziale) dei seguenti precedenti capitoli:
Sia
Allora il suo limite è
Sia
Allora il suo limite è
Notiamo che per la funzione identità il limite può valere anche per
Possiamo sfruttare altri teoremi per ricavare
Dai teoremi sui limiti (Teoremi sui Limiti di Funzione > ^380b0fTeorema 8 (limiti finiti e infinitesimi)) , possiamo conosciamo il limite di
Ora consideriamo la medesima funzione, studiando però il comportamento di
Concludiamo che non esiste il limite
FIGURA 2.1. (Grafico della funzione quoziente)
Allora sfruttando altri teoremi sui limiti di funzione (Teoremi sui Limiti di Funzione > ^48b492Teorema 7 (operazioni tra limiti)), dall'esempio precedente possiamo ricavare
Sia
Ora vediamo cosa succede se
Ora vediamo che
Analogamente tutto questo vale per
Sia
Nel caso in cui
Analogamente c'è un discorso verosimile per il limite quando la funzione tende a
Sia la funzione razionale un quoziente tra due polinomi di grado
B. Se è invece falsa (ovvero che non vale
Vogliamo valutare
A. Se
B. Se
C. Se
Questa sezione ovviamente richiede la conoscenza di Funzioni trigonometricheFunzioni trigonometriche
Ricordiamoci delle funzioni di prostaferesi (Funzioni trigonometriche > ^5d221cOsservazione 12 (formule di prostaferesi)).
Voglio dimostrare che
Dunque otteniamo
FIGURA 5.1. (
Esercizio lasciato al lettore: provare che
Invece per la funzione tangente
Quindi
Riprendiamo invece la funzione arcotangente
Osserviamo dal grafico di tale funzione (figura 5.4.) che valgono le seguenti:
FIGURA 5.4. (Funzione
Riprendiamo ora le funzioni
Dai grafici di queste (figura 5.5.) osserviamo che
FIGURA 5.5. (Grafici di
“Pasted image 20231017172546.png” could not be found.
Per la funzione esponenziale e logaritmica si tengono in conto i risultati delle definizioni delle funzioni esponenziali e logaritmiche (Funzione esponenziale e Logaritmica > ^df6840Proposizione 2 (le prime proprietà dell'esponenziale sui naturali), Funzione esponenziale e Logaritmica > ^16fe54Teorema 14 (le proprietà del logaritmo)).
In alcuni esempi dei limiti di successione (Esempi di Limiti di Successione > ^3d1abaEsempio 2 (limite dell'esponenziale contro potenza)) abbiamo visto che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.1. (^f5b822Teorema 18 (l'esponenziale confrontato con l'identità))
Partiamo dal fatto che
Voglio calcolare
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 6.2. (^d4765aTeorema 19 (l'esponenziale è l'infinito "più grande"))
Qui uso le proprietà degli esponenti (Funzione esponenziale e LogaritmicaFunzione esponenziale e Logaritmica, TEOREMA 1.5.).
Allora ho una situazione del tipo
Ora facciamo lo stesso scontro, solo che al posto del quoziente abbiamo la potenza
Poniamo, mediante la sostituzione di variabile,
Voglio calcolare
Generalizzando si ha
ESEMPIO 6.5. (Logaritmo vs radice quadrata)
Ora illustriamo ciò che chiameremo come i limiti fondamentali.
Prima di considerare il primo esempio facciamo le seguenti osservazioni.
OSS 7.1. Voglio calcolare l'area del settore circolare con raggio
Idea. Che vuol dire calcolare l'area di una figura? Questo significa prendere una "misura" standard per misurare l'area, poi per contare. Infatti ad esempio, per calcolare l'area di un triangolo partiamo dall'area di due rettangoli "distorti" che formano un triangolo.
Analogamente facciamo la stessa cosa col settore circolare: la dividiamo in "triangolini" piccolissimi, poi li "apro" disponendoli fila per fila.
Ora arriviamo al punto cruciale: "faccio finta" (oppure approssimo) la lunghezza dell'arco con quello della coda. Graficamente il ragionamento consiste nella figura 7.2.
Dove la "base" di questi triangoli è
Quindi possiamo unire tutti questi triangoli in uno singolo triangolo con le stesse misure e avere dunque un singolo triangolo con base
FIGURA 7.1. (Il problema)
FIGURA 7.2. (Il fulcro del ragionamento)
Ora, riprendendo il cerchio unitario
Chiaramente si vede che
FIGURA 7.3. (Le aree segnate)
Il primo limite fondamentale noto che conosceremo è il limite
DIMOSTRAZIONE del teorema 7.1. (^727823Teorema 26 (Teorema 7.1. (primo limite fondamentale
Voglio calcolare
Infatti possiamo manipolare l'espressione finale per ottenere il seguente:
Ci sarà utile anche ricordare il limite
Dai risultati di Esempi di Limiti di SuccessioneEsempi di Limiti di Successione, in particolare l'ESEMPIO 1.4., abbiamo visto che
Si nota il seguente limite fondamentale
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 7.2. (^0c3749Teorema 29 (limite fondamentale
Voglio calcolare il limite
Si nota che vale anche il limite
DIMOSTRAZIONE del corollario 7.3. (^110bc4Corollario 30 (forma "negativa" del limite fondamentale di
Ora voglio calcolare
data: 2023-11-01
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Limite di Successione
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di limite di successione.
Questo argomento richiede la conoscenza degli argomenti seguenti.
Inoltre facciamo alcune osservazioni preliminari che ci possono aiutare a comprendere il
contenuto di questa pagina.
Posso rappresentare una successione sul piano cartesiano mediante la maniera rappresentata nella figura 0.A.; alternativamente si può rappresentare una successione anche come dei punti sulla retta reale.
FIGURA 0.A. (Osservazione 0.A.)
Voglio introdurre il concetto di limite (Definizione di Limite di funzione > ^c5e4ecDefinizione 2 (formulazione generale e rigorosa del limite di una funzione che tende ad un punto di accumulazione)) per una successione (Successione e Sottosuccessione > ^e6d66fDefinizione 2 (successione a variabile reale)).
Innanzitutto mi chiedo quale sia il dominio di una qualsiasi successione: la risposta è l'insieme dei numeri naturali
Se posso definire il limite di una funzione che si avvicina ad un punto di accumulazione del dominio, allora posso certamente definire il limite di una successione che si avvicina ad un punto
di accumulazione per
Tuttavia come osservato (Punti di aderenza e di accumulazione > ^740a07Punti di aderenza e di accumulazione > ^740a07), non ci sono punti di accumulazione in
In questo caso possiamo prendere
Allora l'unico valore di cui ha senso calcolare il limite di una successione è
Allora definiamo
FIGURA 1.1. (definizione di limite di successione)
Se
Altrimenti se esiste ma ho
Osserviamo che per il limite di successione valgono tutte le proprietà dei limiti di funzione (Teoremi sui Limiti di FunzioneTeoremi sui Limiti di Funzione), in quanto stiamo considerando un caso particolare di un caso generale.
Quindi valgono le seguenti:
Inoltre abbiamo altri due altri teoremi, specifici per le successioni.
Sia
Tesi. Supponendo che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^f55fdeTeorema 6 (le sottosuccessioni convergono allo stesso valore delle loro successioni padre))
Il punto cruciale consiste nel seguente.
Se
Ovvero mi chiedo se vale che
Se la successione
Se
Se consideriamo la successione
Se conosco il limite della funzione
ATTENZIONE! Da qui non bisogna dedurre vale anche la contraria (tesi negata); se il limite della funzione per
Vediamo alcuni esempi di quest'ultima osservazione.
data: 2023-11-03
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esempi di Limiti di Successione
tipologia: appunti
stato: "1"Alcuni esempi di limiti di successione, in particolare quelle notevoli
Ovviamente questo capitolo serve la conoscenza di Limite di SuccessioneLimite di Successione.
Inoltre è opportuno tenere a mente alcuni risultati di Assiomi di Peano, il principio di induzioneAssiomi di Peano, il principio di induzione, in particolare Esempi di InduzioneEsempi di Induzione
Sia
Se
Allora generalizzo scrivendo
Considero un caso analogo a quello precedente.
Ora considero una nuova funzione:
Possiamo quindi congetturare che
Quindi lo dimostriamo:
Supponendo
FIGURA 1.3. (Esempio 1.3.)
Con un conto analogo posso dimostrare che
Consideriamo uno dei limiti più importanti dell'analisi matematica;
Enunciamo che questo limite esiste e converge ad un numero reale che chiameremo
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^3a6188Teorema 5 (1+1/n)^n))
Uso il teorema sulle successioni monotone e limitate per dimostrare che innanzitutto il limite converge: si tratta di provare che
Indico il valore per cui il limite converge con
data: 2023-11-13
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Trucchetti per Limiti
tipologia: appunti
stato: "1"Lista di "trucchetti" utili per valutare limiti: modi di manipolare espressioni algebriche, proprietà, …, etc.
Dai teoremi sui limiti (Teoremi sui Limiti di Funzione > ^48b492Teorema 7 (operazioni tra limiti)) sappiamo che se vale che
Bisogna stare attenti che in certi casi non si può applicare questa tecnica!
In particolare non lo si applica quando abbiamo certi casi.
Notiamo che possiamo sfruttare i c.d. elementi neutri delle operazioni, ovvero dei numeri che "non vanno ad influire" sul risultato di un'espressione algebrica.
Per la somma
Invece per il prodotto
Possiamo sfruttarli in particolare per "trasformare" delle espressioni algebriche in limiti notevoli, oppure per "sbarazzarci" delle situazioni "scomode".
Questo primo trucchetto può essere già declinato nella tecnica della "razionalizzazione"; ovvero se abbiamo in una frazione (o senza) delle espressioni in cui compaiono delle radici
Sapendo che
Come accennato prima, possiamo sfruttare il trucchetto appena citato per "trasformare" limiti complessi in dei limiti che assomigliano a dei limiti notevoli.
Teniamo in mente che i limiti notevoli sono i seguenti.
Come esempio specifico sfruttiamo il secondo limite notevole presentato prima.
Supponiamo di avere un limite del tipo
Riepilogando,
data: 2023-10-30
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Esercizi sui Limiti
tipologia: appunti
stato: "1"Tutti gli esercizi sui limiti
Questa parte (come è ben ovvia) richiede la conoscenza preliminare della parte teorica sui limiti; ovvero bisogna conoscere i contenuti di tutti i capitoli prima di poter affrontare gli esercizi.
Qui si raccolgono tutti gli esercizi proposti da D.D.S. durante le lezioni dell'anno accademico 2023-2024.
Giorno 30.10.2023
ESERCIZIO 1.1.
ESERCIZIO 1.4.
ESERCIZIO 1.5.
ESERCIZIO 1.16.
ESERCIZIO 1.23.